Ο γιωτ έκανε μια πρώιμη εμφάνιση στη σκηνή της Ιστορίας των Μαθηματικών, τον 16ο αιώνα κατά την εποχή που οι Ιταλοί μαθηματικοί προσπαθούν να βρουντρόπους για τη λύση τριτοβάθμιων εξισώσεων όπως η x^3+x=2. Το 1572 ο Rafaello Bombelli, ο τελευταίος μεγάλος μαθηματικός της Bologna, παρουσίασε το βιβλίο του Algebra, στο οποίο μελετώντας τις τετραγωνικές ρίζες διάφορων αριθμών σκόνταψε σε ένα αναπάντητο ερώτημα: «Ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του αρνητικού αριθμού -1» ; Η λύση γι αυτόν ήταν να «δημιουργήσει» έναν καινούριο αριθμό και θα είναι εξ ορισμού η απάντηση στο ερώτημα «ποια είναι η τετραγωνική ρίζα της αρνητικής μονάδας;».
Βέβαια θα μπορούσε κανείς να αντιτάξει ότι «τέτοιου είδους αριθμός δεν κυκλοφορεί στις γειτονιές της Πραγματικότητας». Όμως υπάρχει αλήθεια αριθμός που να έχει πραγματική υπόσταση; βλέπουμε κανένα 2; πιάνουμε κανένα 14; ακούμε κανένα -5; επομένως όλοι οι αριθμοί είναι κατ’ ουσίαν «φανταστικοί». Εξάλλου μία ανάλογη απάντηση σε διαφορετικό βέβαια ερώτημα είχε δοθεί από τους Ινδούς μαθηματικούς πριν από αρκετούς αιώνες. Ήταν τότε που η ανάγκη για μία απάντηση στο ερώτημα «με τι ισούται η διαφορά 1-2 ; » είχε οδηγήσει στην επινόηση των αρνητικών αριθμών.
Στη συγκεκριμένη περίπτωση της τετραγωνικής ρίζας του «-1 » μία σημασιακή διεύρυνση της έννοιας αριθμός θα μπορούσε να είναι τέτοια ώστε να χωρέσει και το καινούριο πλάσμα της ανθρώπινης αφαιρετικής σκέψης. Και αυτό συνέβη. Ο Bombelli «έσπρωξε» στο παλκοσένικο της ιστορίας των Μαθηματικών αριθμούς όπως ο R[Om. 9] -στον οποίο το R παριστάνει την τετραγωνική ρίζα και το m το πρόσημο «μείον» και τον οποίο θα συμβολίζαμε σήμερα με Ö(0-9) – .
Ο αλλόκοτος αυτός αριθμός, γέννημα θρέμμα της Ευρώπης, που χαρακτηρίστηκε από τον Descartes «imaginaire» – στην ελληνική γλώσσα «φανταστικός»- έκανε την εμφάνισή του χωρίς να συμβολίζεται με κάποιο γενικώς αποδεκτό σύμβολο. Ο φανταστικός αριθμός γεννήθηκε λοιπόν τον 16ο αιώνα και απέκτησε τον δικό του «παγκόσμιο» συμβολισμό με το γράμμα i τον 18ο αιώνα ύστερα από πρόταση του Euler. Επόμενο ήταν η δημιουργία ενός νέου συνόλου αριθμών -υποσύνολοτου οποίου είναι το R-, το C, δηλαδή αυτό των μιγαδικών. Οι αριθμοί αυτοί έχουν τη μορφή χ + yi, με τους χ και y να ανήκουν στο R. Οι γνωστοί σε όλους μας λοιπόν πραγματικοί αριθμοί προκύπτουν μηδενίζοντας το φανταστικό μέρος των μιγαδικών, δηλαδή το y, παίρνοντας τη μορφή χ + 0*i = x.
Aνίστοιχα οι φανταστικοί προκύπτουν με μηδενισμό του πραγματικού μέρους των μιγαδικών. Αναδιατυπώνουμε λοιπόν, με μαθηματική χροιά, όλοι οι αριθμοί είναι μιγαδικοί! Το πρόβλημα βέβαια που δημιουργήθηκε είναι ότι όλοι αυτοί οι φανταστικοί και οι μιγαδικοί αριθμοί δεν έχουν θέση στην ευθεία των πραγματικών αριθμών.
Οι μαθηματικοί όμως ξεπέρασαν και αυτή τη δυσκολία δημιουργώντας, την ευθεία των φανταστικών αριθμών κάθετη στην ευθεία των πραγματικών αριθμών και από τότε, ενώ οι πραγματικοί εξακολουθούν να κυκλοφορούν στη δική τους ευθεία, οι φανταστικοί «ζουν» πάνω στην άλλη.
Όσο για τους μιγαδικούς, αυτοί ζουν στο επίπεδο των δύο αυτών ευθειών. Οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν, μεταξύ άλλων, σημαντικές εφαρμογές στη λύση διαφορικών εξισώσεων αλλά και στη μελέτη διάφορων φυσικών προβλημάτων οπτικής, κυματικής, κβαντομηχανικής και ηλεκτρονικής.
πηγή: atopo.gr
Βέβαια θα μπορούσε κανείς να αντιτάξει ότι «τέτοιου είδους αριθμός δεν κυκλοφορεί στις γειτονιές της Πραγματικότητας». Όμως υπάρχει αλήθεια αριθμός που να έχει πραγματική υπόσταση; βλέπουμε κανένα 2; πιάνουμε κανένα 14; ακούμε κανένα -5; επομένως όλοι οι αριθμοί είναι κατ’ ουσίαν «φανταστικοί». Εξάλλου μία ανάλογη απάντηση σε διαφορετικό βέβαια ερώτημα είχε δοθεί από τους Ινδούς μαθηματικούς πριν από αρκετούς αιώνες. Ήταν τότε που η ανάγκη για μία απάντηση στο ερώτημα «με τι ισούται η διαφορά 1-2 ; » είχε οδηγήσει στην επινόηση των αρνητικών αριθμών.
Στη συγκεκριμένη περίπτωση της τετραγωνικής ρίζας του «-1 » μία σημασιακή διεύρυνση της έννοιας αριθμός θα μπορούσε να είναι τέτοια ώστε να χωρέσει και το καινούριο πλάσμα της ανθρώπινης αφαιρετικής σκέψης. Και αυτό συνέβη. Ο Bombelli «έσπρωξε» στο παλκοσένικο της ιστορίας των Μαθηματικών αριθμούς όπως ο R[Om. 9] -στον οποίο το R παριστάνει την τετραγωνική ρίζα και το m το πρόσημο «μείον» και τον οποίο θα συμβολίζαμε σήμερα με Ö(0-9) – .
Ο αλλόκοτος αυτός αριθμός, γέννημα θρέμμα της Ευρώπης, που χαρακτηρίστηκε από τον Descartes «imaginaire» – στην ελληνική γλώσσα «φανταστικός»- έκανε την εμφάνισή του χωρίς να συμβολίζεται με κάποιο γενικώς αποδεκτό σύμβολο. Ο φανταστικός αριθμός γεννήθηκε λοιπόν τον 16ο αιώνα και απέκτησε τον δικό του «παγκόσμιο» συμβολισμό με το γράμμα i τον 18ο αιώνα ύστερα από πρόταση του Euler. Επόμενο ήταν η δημιουργία ενός νέου συνόλου αριθμών -υποσύνολοτου οποίου είναι το R-, το C, δηλαδή αυτό των μιγαδικών. Οι αριθμοί αυτοί έχουν τη μορφή χ + yi, με τους χ και y να ανήκουν στο R. Οι γνωστοί σε όλους μας λοιπόν πραγματικοί αριθμοί προκύπτουν μηδενίζοντας το φανταστικό μέρος των μιγαδικών, δηλαδή το y, παίρνοντας τη μορφή χ + 0*i = x.
Aνίστοιχα οι φανταστικοί προκύπτουν με μηδενισμό του πραγματικού μέρους των μιγαδικών. Αναδιατυπώνουμε λοιπόν, με μαθηματική χροιά, όλοι οι αριθμοί είναι μιγαδικοί! Το πρόβλημα βέβαια που δημιουργήθηκε είναι ότι όλοι αυτοί οι φανταστικοί και οι μιγαδικοί αριθμοί δεν έχουν θέση στην ευθεία των πραγματικών αριθμών.
Οι μαθηματικοί όμως ξεπέρασαν και αυτή τη δυσκολία δημιουργώντας, την ευθεία των φανταστικών αριθμών κάθετη στην ευθεία των πραγματικών αριθμών και από τότε, ενώ οι πραγματικοί εξακολουθούν να κυκλοφορούν στη δική τους ευθεία, οι φανταστικοί «ζουν» πάνω στην άλλη.
Όσο για τους μιγαδικούς, αυτοί ζουν στο επίπεδο των δύο αυτών ευθειών. Οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν, μεταξύ άλλων, σημαντικές εφαρμογές στη λύση διαφορικών εξισώσεων αλλά και στη μελέτη διάφορων φυσικών προβλημάτων οπτικής, κυματικής, κβαντομηχανικής και ηλεκτρονικής.
πηγή: atopo.gr